Page 3 - LN

−1
−1
−1
2
2
5. (i) sin x + sin y = sin (x 1 − y + y 1 − x )
−1
2
−1
−1
2
(ii). sin x − sin y = sin (x 1 − y − y 1 − x )
−1
−1
Proof: (i) let sin x = A, sin y = B ⇒ x = sinA, y = sinB
2
2
Now cosA = 1 − x , cosB = 1 − y
∴ sin A + B = sinAcosB + cosAsinB
2
2
⇒ sin A + B = x 1 − y + y 1 − x
2
2
−1
⇒ A + B = sin (x 1 − y + y 1 − x )
−1
−1
−1
2
2
⇒sin x + sin y = sin (x 1 − y + y 1 − x )
Similarly we can prove other part.
−1
−1
−1
2
2
6. (i). cos x + cos y = cos (xy − 1 − x 1 − y )
−1
−1
−1
2
2
(ii). cos x − cos y = cos (xy + 1 − x 1 − y )
−1
−1
Proof: (i) let cos x = A, cos y = B ⇒ x = cosA, y = cosB
2
2
Now sinA = 1 − x , sinB = 1 − y
∴ cos A + B = cosAcosB − sinAsinB
2
2
⇒ cos A + B = xy − 1 − x 1 − y
−1
2
2
⇒ A + B = cos (xy − 1 − x 1 − y )
−1
−1
−1
2
2
⇒cos x + cos y = cos (xy − 1 − x 1 − y )
Similarly we can prove other part.
−1
−1
7. (i). tan x + tan y = tan −1 x+y , xy < 1
1−xy
−1
−1
(ii). tan x − tan y = tan −1 x−y , xy > −1
1+xy
−1
−1
Proof: (i) let tan x = θ, tan y = φ ⇒ x = tanθ and y = tanφ
tan θ+tan φ x+y
Now tan θ + φ = =
1−tan θtan φ 1−xy
⇒θ + φ = tan −1 x+y
1−xy
−1
−1
∴ tan x + tan y = tan −1 x+y
1−xy
Similarly we can prove other part.

−1
8. (i). 2tan x = sin −1 2x , x ≤ 1
1+x 2
−1
(ii). 2tan x = cos −1 1−x 2 , x ≥ 0
1+x 2
−1
(iii). 2tan x = tan −1 2x , x < 1
1−x 2
−1
Proof: (i) let tan x = y ⇒ x = tany
−1
−1
Now sin −1 2x = sin −1 2tany = sin sin2y = 2y = 2tan x.
2
1+x 2 1+tan y